Question

2．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上一点P（x₀，y₀）（y₀≠0）的切线的斜率为-$\frac{{b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}$．

Answer 1

分析 利用复合函数求导法则，可知：$\frac{2x}{{a}^{2}}$+$\frac{2yy′}{{b}^{2}}$=0，求得y′=-$\frac{{b}^{2}x}{{a}^{2}y}$，利用导数的几何意义可知：切线的斜率为：k=y′${丨}_{x={x}_{0}，y={y}_{0}}$=-$\frac{{b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}$．

解答 解：由椭圆方程可知：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
利用复合函数求导法则可知：$\frac{2x}{{a}^{2}}$+$\frac{2yy′}{{b}^{2}}$=0，
∴y′=-$\frac{{b}^{2}x}{{a}^{2}y}$，
由导数的几何意义可知：过点P（x₀，y₀）（y₀≠0）的切线的斜率k=y′${丨}_{x={x}_{0}，y={y}_{0}}$=-$\frac{{b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}$，
故答案为：-$\frac{{b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，复合函数的导数运算，导数的求导法则，切线的几何意义，考查转化思想，属于基础题．