Question

11．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]求函数f（x）的值域；
（3）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$，α∈（0，π），求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）将三角函数进行化简，利用三角函数的单调性即可求f（x）的最小正周期；
（2）根据三角函数的表达式求函数f（x）的值域；
（3）把x=$\frac{α}{2}$代入求值．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=-$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴函数f（x）的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
（3）∵f（$\frac{α}{2}$）=sin（α-$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$-cosαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{1}{4}$，
∴16sin²α-4sinα-11=0，
解得sinα=$\frac{1±3\sqrt{5}}{8}$，
∵α∈（0，π），∴sinα＞0
故sinα=$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，三角函数的化简求值，三角函数的周期的求法，函数的值域的应用，考查计算能力．