Question

17．已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EE=2，EH=1，四边形EFGH为平行四边形．
（Ⅰ）求证：EH∥BD；
（Ⅱ）连结AC，若AC⊥BD，求FH的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：EH∥FG，利用线面平行的判定定理证明EH∥平面BCD，即可证明EH∥BD；
（Ⅱ）连结AC，若AC⊥BD，证明EH⊥EF，利用勾股定理求FH的长度．

解答 （Ⅰ）证明：如图，∵四边形EFGH为平行四边形
∴EH∥FG，
又∵EH?平面BCD，FG?平面BCD，
∴EH∥平面BCD，
又∵EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴EH∥BD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH∥BD，同理可证EF∥AC．
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴$FH=\sqrt{E{H^2}+E{F^2}}=\sqrt{{1^2}+{2^2}}=\sqrt{5}$

点评 本题考查线面平行的判定定理与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．