Question

已知函数f（x）=|x-a|-

4

x

+a，a∈R．
（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）在[1，4]上的单调性；
（2）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）；
（3）是否存在实数a，使得f（x）=3有3个不等实根x₁＜x₂＜x₃，且它们依次成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由a=1，x∈[1，4]，可得函数f（x）=x-

4

x

，再用定义证明函数f（x）在[1，4]上的单调性．
（2）当x∈[1，4]时，分当①a≤1、a∈（1，2）、a∈[2，4）、a≥4这4种情况，分别利用单调性求得f（x）的最大值M（a），综合可得结论．
（3）由于f（x）=

2a-x- 4 x ，x≤a x- 4 x ，x＞a

，故由f（x）=3，求得x=-1，或 x=4，根据x₁＜x₂＜x₃，且它们依次成等差数列，可得a≤-1，f（-6）=3，由此求得a的值．

解答： 解：（1）若a=1，x∈[1，4]，则函数f（x）=|x-1|-

4

x

+1=x-

4

x

，
设1≤x₁＜x₂≤4，则f（x₁）-f（x₂）=[（x₁-1）-

4

x1

+1]-[（x₂-1）-

4

x2

+1]
=（x₁-x₂）+

4

x2

-

4

x1

=（x₁-x₂）+

4(x1-x2)

x1•x2

=（x₁-x₂）（1+

4

x1•x2

 ）．
由1≤x₁＜x₂≤4可得x₁-x₂＜0，1+

4

x1•x2

＞0，∴（x₁-x₂）（1+

4

x1•x2

 ）＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数f（x）在[1，4]上是增函数．
（2）对于函数f（x）=

2a-x- 4 x ，x∈(1，a) x- 4 x ，x∈[a，4)

，当x∈[1，4]时，
①若a＜1，则函数f（x）=x-

4

x

，显然f（x）在[1，4]上是增函数，
故f（x）的最大值的表达式M（a）=f（4）=4-1=3．
②若a∈[1，2），f（x）=

2a-x- 4 x ，x∈(1，a) x- 4 x ，x∈[a，4)

，显然f（x）在[1，a）上是增函数，
f（x）在[a，4]上是增函数，故f（x）的最大值为f（4）=3．
③若a∈[2，4），f（x）=

2a-x- 4 x ，x∈(1，a) x- 4 x ，x∈[a，4)

，f（x）在[1，2]上是增函数，
在[2，a）上是减函数，在[a，4]上是增函数，
故f（x）的最大值为max{ f（2），f（4）}=max{ 2a-4，3}．
由2a-4=3，求得a=

7

2

，
故f（x）的最大值为max{ f（2），f（4）}=

3，2≤a＜ 7 2 2a-4， 7 2 ≤a＜4

．
 ④当a≥4时，f（x）=a-x-

4

x

+a=2a-（x+

4

x

）≤2a-2

x• 4 x

=2a-4．
综上可得M（a）=

3，a＜ 7 2 2a-4，a≥ 7 2

．
（3）对于函数f（x）=

2a-x- 4 x ，x≤a x- 4 x ，x＞a

，
由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x-

4

x

=3，求得x=-1，或 x=4．
∵x₁＜x₂＜x₃，且它们依次成等差数列，∴x₂=-1，x₃=4，x₁ =-6，∴a≤-1．
∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为-6，
再根据f（-6）=2a+6+

2

3

=3，求得a=-

11

6

，满足a≤-1，
故存在实数a=-

11

6

，使得f（x）=3有3个不等实根x₁＜x₂＜x₃，且它们依次成等差数列．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．