Question

设双曲线C的中心在原点，以点A（

2

3

3

，0）为右焦点，以x=

3

6

为右准线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与双曲线交于A、B两点，若以A、B为直径的圆经过原点，求k的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，依题意，由其焦点坐标与准线方程可求得a²=

1

3

，b²=1，从而可得双曲线C的方程；
（2）联立直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依题意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，从而可求得

2

k2-3

+1=0，继而可解得k的值．

解答： 解：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由焦点坐标得c=

2 3

3

，
准线方程x=±

a2

c

，即有a²=

3

6

×

2 3

3

=

1

3

，
∵c²=a²+b²，
∴b²=1，
∴双曲线C的方程为：3x²-y²=1；
（2）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且k≠±

3

．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即

2k2

k2-3

+

-2k2

k2-3

+1+

2

k2-3

=0，
∴

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．

点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．