Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，四边形BCC₁B₁是边长为4的正方形，直线AB与平面ACC₁A₁所成角的正切值为2，点D为棱AA₁上的动点．
（I）当点D为何位置时，CD⊥平面B₁C₁D？
（II）当AD=2

2

时，求二面角B₁-DC-C₁的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当点D为AA₁中点时，CD⊥平面B₁C₁D．
（Ⅱ）当AD=2

2

时，求出平面CDB₁的法向量和平面DCC₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角B₁-DC-C₁的大小．

解答： 解：（Ⅰ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得BC=BB₁=4，tan∠BAC=

BC

AC

=2，∴AC=2，
设AD=t，0≤t≤4时，CD⊥平面B₁C₁D，
则C（0，0，0），D（2，0，t），B₁（0，4，4），C₁（0，0，4），

CD

=（2，0，t），

C1B1

=（0，4，0），

C1D

=（2，0，t-4），
则

CD • C1B1 =0 CD • C1D =4+t(t-4)=0

，解得t=2，
∴当点D为AA₁中点时，CD⊥平面B₁C₁D．
（Ⅱ）当AD=2

2

时，D（2，0，2

2

），C（0，0，0），
B₁（0，4，4），

CD

=（2，0，2

2

），

CB1

=（0，4，4），
设平面CDB₁的法向量为

n

=（x，y，z），

n • CD =2x+2 2 z=0 n • CB1 =4y+4z=0

，取y=1，得

n

=（

2

，1，-1），
又平面DCC₁的法向量

m

=（0，1，0），
设二面角B₁-DC-C₁的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=

1

2

，∴θ=

π

3

，
∴二面角B₁-DC-C₁的大小为

π

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．