Question

四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点
（1）求证：QP⊥AC；
（2）当二面角Q-AC-P的大小为120°时，求QB的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，从而AC⊥平面PDBQ，由此能证明AC⊥PQ．
（2）设AC和BD的交点为O，连结OP，OQ，则∠POD是二面角P-AC-D的平面角，∠POQ是二面角P-AC-Q的平面角，∠POQ=120°，由此利用余弦定理能求出QB．

解答： （1）证明：∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PD⊥AC，
又菱形ABCD中，两对角线垂直，即AC⊥BD，又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDBQ，∴AC⊥PQ．
（2）解：△PAC和△QAC都是以AC为底的等腰三角形，
设AC和BD的交点为O，连结OP，OQ，
则∠POD是二面角P-AC-D的平面角，
由tan∠POD=

2

3

＜

3

，得二面角P-AC-B大小120°，
∴点Q与点P在平面ABCD的同侧，如图所示，
∴∠POQ是二面角P-AC-Q的平面角，∴∠POQ=120°，
在Rt△POD中，OP=

7

，设QB=x，
则Rt△OBQ中，OQ=

x2+3

，
在直角梯形PDBQ中，PQ=

(2-x)2+(2 3 )2

=

x2-4x+16

，
在△POQ中，由余弦定理得PQ=

7(x 2+3)

=6-4x，
故6-4x＞0，且3x²-16x+5=0，
解得x=

1

3

，即QB=

1

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．