Question

已知在（

x

-

2

3 x

）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求n+9c

2 n

+81c

3 n

+…+9^n-1c

n n

的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由

C

4 n

•(-2)4：

C

2 n

•(-2)2=56：3，解得n=10，可得T_r+1=

C

r 10

•（-2）^r•x5-

5r

6

，当5-

5r

6

为整数，r可取0，6，由此可得展开式中的有理项．
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则

C r 10 •2r ≥C r 10 •2r-1 C r 10 •2r ≥C r+1 10 •2r+1

，由此解得r的值，可得系数绝对值最大的项．
（3）利用二项式定理化简n+9c

2 n

+81c

3 n

+…+9^n-1c

n n

  为

9 •C 1 10 +92 •C 2 10 +93 •C 3 10 +…+910 •C 10 10

9

，即

(1+9)10-1

9

，计算可得结果．

解答： 解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是

C

4 n

•(-2)4：

C

2 n

•(-2)2=56：3，解得n=10．
因为通项：T_r+1=

C

r 10

•（-2）^r•x5-

5r

6

，当5-

5r

6

为整数，r可取0，6，于是有理项为T₁=x⁵和T₇=13400．
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则

C r 10 •2r ≥C r 10 •2r-1 C r 10 •2r ≥C r+1 10 •2r+1

．
解得

r≤ 22 3 r≥ 19 3

，于是r只能为7．
所以系数绝对值最大的项为T₈=-15360x-

5

6

．
（3）n+9c

2 n

+81c

3 n

+…+9^n-1c

n n

=10+9

C

2 10

+9²•

C

2 10

+…+9^10-1•

C

10 10

=

9 •C 1 10 +92 •C 2 10 +93 •C 3 10 +…+910 •C 10 10

9

=

(1+9)10-1

9

=

1010-1

9

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．