Question

设函数y=f（x）（x∈R₊）对任意正数x，y恒有①f（x•y）=f（x）+f（y），②f（x）在（0，+∞）上单调递增，解不等式f（x）+f（x-

1

2

）≤0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据条件①，令x=y=1，则f（1）=0，根据条件①，从而将原不等式转化为f[x（x-

1

2

）]≤f（1），根据条件②得到不等式组，注意定义域，解出x的范围即可．

解答： 解：∵任意正数x，y恒有f（x•y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，则f（1）=2f（1），
即f（1）=0，
∴f（x）+f（x-

1

2

）≤0，
即f[x（x-

1

2

）]≤f（1），
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴

x＞0 x- 1 2 ＞0 x(x- 1 2 )≤1

即

x＞0 x＞ 1 2 1- 17 4 ≤x≤ 1+ 17 4

，
∴

1

2

＜x≤

1+ 17

4

．
∴原不等式的解集为{x|

1

2

＜x≤

1+ 17

4

}．

点评：本题主要考查函数的单调性及运用，解题应注意函数的定义域，同时考查解决抽象函数常用方法：赋值法，是一道基础题．