Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$-2．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=$\sqrt{3}$，c=1，且f（A）=1，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积，利用三角恒等变换化简f（x），再求出f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据f（A）=1求出A的值，再由正弦定理求出C的值，得出△ABC为Rt△，从而求出△ABC的面积．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），
所以函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$-2
=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）+（-1）×（-$\frac{3}{2}$）-2
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
所以函数f（x）的最小正周期为T=π，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z；
（2）△ABC中，A为锐角，a=$\sqrt{3}$，c=1，
且f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
即2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴A=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即A=$\frac{π}{3}$；
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
解得sinC=$\frac{1}{2}$，
又a＞c，∴C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC为Rt△，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质以及正弦定理，三角形面积公式的应用问题，是综合性题目．