Question

15．已知某牌子汽车生产成本C（万元）与月产量x（台）的函数关系式为C=100+4x，单价p与产量x的函数关系式为p=25-$\frac{1}{8}x$，假设产品能全部售出．
（1）求利润函数f（x）的解析式，并写出定义域；
（2）当月产量x为何值时，利润最大，并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）利润f（x）等于收入R减去成本C，收入R等于产量×价格，求出函数的解析式即可；
（2）根据函数的解析式，结合二次函数的性质求出函数的最值即可．

解答 解：（1）因为利润f（x）等于收入R减去成本C，收入R等于产量乘价格．
所以，收入R=px=（25-$\frac{1}{8}x$）x=25x-$\frac{1}{8}{x^2}$，
∴f（x）=R-C=（25x-$\frac{1}{8}{x^2}$）-（100+4x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100．
由$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 25-\frac{1}{8}x＞0\end{array}\right.$得  0≤x＜200…（4分）
因此，利润函数f（x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100，定义域为[0，200）…（6分）
（2）由（1）得：利润f（x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100=$-\frac{1}{8}{（x-84）^2}+782$
∴当x=84时，f（x）取得最大值f（84）=782．
答：当月产量x为84台时，利润最大，最大的利润782万元…（12分）

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．