Question

13．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：

组号	第一组	第二组	第三组	第四组	第五组
分组	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]

（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，若将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名学生，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？

Answer 1

分析 （1）由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a的值．
（2）由直方图，得第3组人数为30人，第4组人数为20人，第5组人数为10人，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．由此利用列举法能求出第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率．

解答 解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，
所以a=0.005．------（4分）
（2）由直方图，得：第3组人数为：0.3×100=30人，
第4组人数为：0.2×100=20人，
第5组人数为：0.1×100=10人，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：$\frac{30}{60}×6=3$人，第4组：$\frac{20}{60}×6=2$人，第5组：$\frac{10}{60}×6=1$人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，
第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），
（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），
（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），
其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：
（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种，
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为$\frac{5}{13}=\frac{1}{3}$．------（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．