Question

20．如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；
（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2$\sqrt{2}$，动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的方程；
（2）直线l得方程为y=-$\sqrt{3}$（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|MN|的长度．

解答 解：（1）以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系…．（1分）
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$+$\sqrt{{2^2}+{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}$=2$\sqrt{2}$，
动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆…．（4分）
设其长、短半轴的长分别为a、b，半焦距为c，则a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
∴曲线E的方程为：$\frac{x^2}{2}$+y²=1．…（6分）
（2）直线l得方程为y=-$\sqrt{3}$（x-1）且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）…．（7分）
由方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}（x-1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得方程7x²-12x+4=0
x₁+x₂=$\frac{12}{7}$，x₁•x₂=$\frac{4}{7}$ …（9分）
$|MN|=\sqrt{1+{{（-\sqrt{3}）}^2}}|{x_1}-{x_2}|$=$2\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$2\sqrt{{{（\frac{12}{7}）}^2}-4×\frac{4}{7}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$，
故$|{MN}|=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$…..（12分）

点评 本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及弦长公式，考查计算能力，属于中档题．