Question

14．已知函数f（x）=|x-a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=1，b=2，解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为3，求$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{a}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的意义求出x的范围即可；
（Ⅱ）求出a+b的值，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）|x-1|+|x+2|≤5，左式可看作数轴上：
点x 到-2 和1 两点的距离之和，…2分
当x=-3 或2 时，距离之和恰为5，
故-3≤x≤2；…5分
（Ⅱ）f（x）=|x-a|+|x+b|≥|x-a-x-b|=a+b，
∴a+b=3，…7分，
由柯西不等式得$（\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}）（b+a）≥{（a+b）^2}$，
$\therefore$ $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}≥a+b=3$，…9分
当且仅当$a=b=\frac{3}{2}$ 时等号成立，
$\therefore$ $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$ 的最小值为3．

点评 本题考查了绝对值的意义，考查不等式的性质，是一道中档题．