Question

20．已知△ABC的边BC上一动点D满足$\overrightarrow{CD}$=n$\overrightarrow{DB}$（n∈N^*），$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则数列{（n+1）x}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{1}{n+1}$
• B． $\frac{n}{n+1}$
• C． $\frac{1}{2}n（n+1）$
• D． $\frac{1}{2}（n+1）（n+2）$

Answer 1

分析 通过$\overrightarrow{CD}$=n$\overrightarrow{DB}$（n∈N^*）可知$\overrightarrow{AD}$=$\frac{n}{n+1}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{n+1}$$\overrightarrow{AC}$，与$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$比较可得x=$\frac{n}{n+1}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{CD}$=n$\overrightarrow{DB}$（n∈N^*），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{n}{n+1}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{n+1}$$\overrightarrow{AC}$，
又∵$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴x=$\frac{n}{n+1}$，
∴数列{（n+1）x}是首项、公差均为1的等差数列，
∴则数列{（n+1）x}的前n项和为$\frac{n（n+1）}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．