Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为圆心的圆O与x轴的正半轴交于点A，点B（-1，2）在圆O上，点C在弧AB上，且∠BOC为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求cos∠AOB；
（Ⅱ）求AC²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件任意角的三角函数的定义求得cos∠AOB 的值．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系求出sin∠AOB 的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos∠AOC=cos（∠AOB-∠AOC）的值，再利用余弦定理求得AC² 的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得圆O的半径为OB=$\sqrt{5}$，∴cos∠AOB=$\frac{-1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅱ）由以上可得，sin∠AOB=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠AOB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又∠BOC=$\frac{π}{4}$，
∴cos∠AOC=cos（∠AOB-∠AOC）=cos∠AOB•cos∠BOC+sin∠AOB•sin∠BOC=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴AC² =OA²+OC²-2OA•OC•cos∠AOC=5+5-10•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=10-$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的差的余弦公式，余弦定理，属于基础题．