Question

9．设a＞0，f（x）=$\frac{x}{x-a}$，g（x）=e^xf（x）（其中e是自然对数的底数），若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=0处有相同的切线，求公切线方程．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点；求出g（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{x-a}$的导数为f′（x）=-$\frac{a}{（x-a）^{2}}$，
在x=0处的切线的斜率为-$\frac{1}{a}$，切点为（0，0），
则切线的方程为y=-$\frac{1}{a}$x；
g（x）=e^xf（x）的导数为g′（x）=e^x•$\frac{{x}^{2}-ax-a}{（x-a）^{2}}$，
在x=0处的切线的斜率为-$\frac{1}{a}$，切点为（0，0），
故公切线的方程为y=-$\frac{1}{a}$x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．