题目内容
已知一动点（x，y）在圆x2+y2-4x=0上，求3x2+4y2的取值范围．
考点：圆的一般方程
专题：直线与圆
分析：根据题意，设点（x，y）的参数方程为
，代入3x2+4y2中，求出最值，即得取值范围．
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解答：
解：∵点（x，y）在圆x2+y2-4x=0上，即（x-2）2+y2=4；
∴设
，θ为参数，
则3x2+4y2=3（2+2cosθ）2+4×4sin2θ
=12+24cosθ+12cos2θ+16sin2θ
=-4cos2θ+24cosθ+28
=-4（cosθ-3）2+64；
当cosθ=1时，3x2+4y2取得最大值48，
当cosθ=-1时，3x2+4y2取得最小值0；
∴3x2+4y2的取值范围是[0，48]．
∴设
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则3x2+4y2=3（2+2cosθ）2+4×4sin2θ
=12+24cosθ+12cos2θ+16sin2θ
=-4cos2θ+24cosθ+28
=-4（cosθ-3）2+64；
当cosθ=1时，3x2+4y2取得最大值48，
当cosθ=-1时，3x2+4y2取得最小值0；
∴3x2+4y2的取值范围是[0，48]．
点评：本题考查了利用圆的方程求函数的值域问题，解题时应用参数法，设出圆的参数方程，代入所求的解析式中，容易求出答案．
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