Question

已知函数f（x）的定义域为（0，1），且f（

1

3

）=1，对?x，y∈（0，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），数列{a_n}满足a₁=

1

3

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

（Ⅰ）证明：?n∈N^*，

1

3

≤a_n＜1；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=f（a_n），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设A_n=

1

n

n

i=1

ai，证明：当n≥2时，|

n

k=1

a_k-

n

k=1

A_k|＜

2(n-1)

3

．（其中符号

n

i=1

a_i=a₁+a₂+…+a_n）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,等比数列的通项公式,数列与不等式的综合

专题：证明题,综合题

分析：（Ⅰ）先说明a_n＞0且a_n≠1，再由条件说明a_n＜1，再根据a_n+1-a_n化简说明数列{a_n}递增，从而得证；
（Ⅱ）由条件b_n=f（a_n）可得b_n+1=f（a_n+1），又a_n+1=

2an

1+ a 2 n

，f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），可以推出b_n+1=2b_n，从而得出b_n的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知

1

3

≤an＜1，数列{a_n}为递增数列，得到任两项的范围为（0，

2

3

），然后作差运用放缩法推出0＜a_k-A_k＜

2

3

，由于a₁-A₁=0，故原不等式得证．

解答： 解：（Ⅰ）证明：依题意a_n＞0且a_n≠1，
当n≥2时，an=

2an-1

1+ a 2 n-1

＜

2an-1

2an-1

=1，
而a1=

1

3

∈(0，1)，∴0＜a_n＜1
又an+1-an=

2an

1+ a 2 n

-an=

an(1- a 2 n )

1+ a 2 n

＞0
∴a_n+1＞a_n，即数列{a_n}为递增数列，
又a1=

1

3

，∴

1

3

≤an＜1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n∈（0，1），且b_n=f（a_n），
∴bn+1=f(an+1)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(

an+an

1+ a   n • a   n

)=f(an)+f(an)=2f(an)=2bn，
又b₁=f（a₁）=1≠0⇒b_n≠0
∴

bn+1

bn

=2，
∴数列{b_n}是等比数列，且b₁=1，公比为2，
∴bn=2n-1；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知

1

3

≤an＜1，数列{a_n}为递增数列，
∴0＜an-am＜

2

3

(n，m∈N*，且n＞m)，
当k≥2且k∈N^*时，ak-Ak=ak-

a1+a2+…+ak

k

=

(ak-a1)+(ak-a2)+…+(ak-ak-1)

k

＜

2(k-1)

3k

＜

2

3

0＜ak-Ak＜

2

3

∵a₁-A₁=0
∴当n≥2时，0＜

n

i=1

ai-

n

i=1

Ai＜

2(n-1)

3

，
∴当n≥2时，|

n

i=1

ai-

n

i=1

Ai|＜

2(n-1)

3

．

点评：本题是以抽象函数为载体考查数列与不等式的证明，考查等比数列的通项公式，及作差法和放缩法证明不等式，考查逻辑推理能力，有一定的难度，是一道综合题．