题目内容

14．求以圆x2+（y-2）2=16与x轴的交点为焦点，且经过这个圆与y轴的一个交点的椭圆的方程．

分析 由题意求出圆与x轴的两个交点，再求出圆与y轴的两个交点，然后分类写出椭圆的标准方程．

解答 解：在圆x2+（y-2）2=16中，取y=0，得x=$±2\sqrt{3}$，
∴所求椭圆的焦点坐标为${F}_{1}（-2\sqrt{3}，0），{F}_{2}（2\sqrt{3}，0）$，
在圆x2+（y-2）2=16中，取x=0，得y=-2或y=6，
即圆与y轴的交点坐标为（0，-2），（0，6），
当椭圆过（0，-2）时，有b=2，则a2=b2+c2=16，
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
当椭圆过（0，6）时，有b=6，则a2=b2+c2=48，
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{48}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了椭圆方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．

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