Question

3．设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n．
已知对任意n∈N，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$，求{c_n}的前n项和W_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n是a_n²和a_n的等差中项．可得S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$，利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（II）c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵S_n是a_n²和a_n的等差中项．
∴S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$，
∴当n=1时，a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}+{a}_{1}}{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}}{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为1，首项为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴{c_n}的前n项和W_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．