Question

4．在数列{a_n}中，已知a_n+1-a_n=1，a₂是a₁与a₄的等比中项
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，记T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+（-1）²ⁿS_2n，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得S_2n-S_2n-1=2n，即可得出．

解答 解：（1）∵在数列{a_n}中，a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为1．
∵a₂是a₁与a₄的等比中项，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，
∴$（{a}_{1}+1）^{2}$=a₁•（a₁+3），
化为a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_2n-S_2n-1=$\frac{2n（2n+1）}{2}$-$\frac{（2n-1）（2n-1+1）}{2}$
=2n．
∴T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+（-1）²ⁿS_2n=2（1+2+…+n）=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．