Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sinx，2cosx）
（1）记f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，则f（$\frac{π}{4}$）的值．
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求tanx的值．
（3）求证：向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$不可能平行．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的运算和二倍角公式化简即可，再代值计算，
（2）根据向量垂直的条件，求出tan2x=-1，根据两角和的正切公式即可求出，
（3）利用反证法，假设向量a与向量b平行，推出矛盾即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sinx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x，
∴f（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$）+cos（2×$\frac{π}{4}$）=1，
（2）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴cos2x+sin2x=0，
∴tan2x=-1，
∴$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$=-1，
解得tanx=1+$\sqrt{2}$，tanx=1-$\sqrt{2}$，
（3）假设向量a与向量b平行，
∴2cos²x+2sinxcosx=sinxcosx-sin²x，
∴1+cos2x+sin2x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1-cos2x），
∴sin2x+cos2x=-3，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{\sqrt{2}}$
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥-1，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{\sqrt{2}}$不成立，
∴假设不成立，
∴向量a与向量b不可能平行．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的垂直和平行的条件，以及三角函数的化简，属于中档题．