Question

记f（P）为双曲线 

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点P到它的两条渐近线的距离之和；当P在双曲线上移动时，总有f（P）≥b．则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  5

  4

  ]
• B、（1，

  5

  3

  ]
• C、（1，2]
• D、（1，

  3

  ]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），可得双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线为y=±

b

a

x，由于f（P）=

|bx-ay|

a2+b2

+

|bx+ay|

a2+b2

≥

|2bx|

c

≥

2ab

c

，再利用f（P）≥b恒成立即可得出．

解答： 解：设P（x，y），
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线为y=±

b

a

x，
∴f（P）=

|bx-ay|

a2+b2

+

|bx+ay|

a2+b2

≥

|2bx|

c

≥

2ab

c

，
∵f（P）≥b恒成立．
∴

2ab

c

≥b，∴

c

a

≤2，
∴双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．
故选：C．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．