Question

对于给定的函数f（x）=2^x-2^-x，有下列四个结论：
①f（x）的图象关于原点对称；    
②f（x）在R上是增函数；
③f（|x|）的图象关于y轴对称；  
④f（|x|）的最小值为0；
其中正确的是

 

（填写正确的序号）．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）=2^x-2^-x，运用定义判断奇偶性，转化为y=2^x在R上是增函数，判断单调性，运用f（x）与f（|x|）关系判断

解答： 解：∵函数f（x）=2^x-2^-x，
∴f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），
∴f（x）为奇函数，故①正确，
∵y=2^x在R上是增函数，
∴y=

1

2x

=2^-x在R上是减函数，
∴函数f（x）=2^x-2^-x在R上是增函数，故②正确；
∵f（|-x|）=f（|x|）∴f（|x|）为偶函数，故③正确；
∵当x≥0时，f（|x|）=f（x），f（x）在R上是增函数
∴f（|x|）在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）递减，
f（|x|）的最小值为f（0）=0，故④正确；
故答案为：①②③④

点评：本题综合考察了函数的单调性，奇偶性，最大最小值问题，属于中档题．