Question

设双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（b≥

2

a＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其上的任意一点P，满足

PF1

•

PF2

≤2a²，过F₁作垂直于双曲线实轴的弦长为8．求双曲线E的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：令x=-c，代入双曲线方程得

c2

a2

-

y2

b2

=1，从而推导出b²=4a；设P点的坐标为（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），

PF1

=（-c-x，-y），

F2P

=（x-c，y），从而由

PF1

•

F2P

推导出a²=2b²，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：令x=-c，代入双曲线方程得

c2

a2

-

y2

b2

=1，
故y²=b²（

c2

a2

-1）=

b2

a2

（c²-a²）=

b4

a2

，
|y|=

b2

a

=

8

2

，即有b²=4a，①
设P点的坐标为（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），

PF1

=（-c-x，-y），

F2P

=（x-c，y），

PF1

•

F2P

=-（c+x）（x-c）-y²
=-（x²-c²）-y²=c²-x²-y²
=c²-x²-[b²（

x2

a2

-1）]
=-（1+

b2

a2

）x²+c²+b²
≤c²+b²=a²+2b²=2a²，
故得a²=2b²，②
将①代入②式，得a²=8a，
即有a²-8a=a（a-8）=0，
解得a=8，b²=32，
∴双曲线方程为

x2

64

-

y2

32

=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识和双曲线性质的合理运用．