Question

求函数y=x^x的定义域和值域．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法,函数的值域,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：函数y=x^x的定义域为{x|x＞0}．y=f（x）=e^xlnx，利用导数即可得出．

解答： 解：函数y=x^x的定义域为{x|x＞0}．
y=f（x）=e^xlnx，
f′（x）=（1+lnx）e^xlnx，
令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
当0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞

1

e

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴当x=

1

e

时，函数f（x）取得最小值e-

1

e

．
∴函数f（x）的值域为[e-

1

e

，+∞）．

点评：本题考查了转化方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．