Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，
F是AB的中点，AC=BC=1，AA₁=2．
（Ⅰ）求证：CF∥平面AB₁E；
（Ⅱ）求三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱的结构特征,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB₁的中点G，连接EG，FG，由已知得四边形FGEC是平行四边形，由此能证明CF∥平面AB₁E．
（Ⅱ）由已知得BB₁⊥平面ABC，AC⊥BB₁，AC⊥BC，从而AC⊥平面EB₁C，进而AC⊥B₁C，由此利用VC-AB1E=VA-EB1C，能求出三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

解答： （Ⅰ）证明：取AB₁的中点G，连接EG，FG，
因为F，G分别是AB，AB₁的中点，
所以FG∥BB1，FG=

1

2

BB1，
因为E为侧棱CC₁的中点，所以FG∥EC，FG=EC，…（3分）
所以四边形FGEC是平行四边形，则CF∥EG，
因为CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
所以CF∥平面AB₁E．…（6分）
（Ⅱ）解：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，
又AC?平面ABC，所以AC⊥BB₁，
又∠ACB=90°，所以AC⊥BC，
因为BB₁∩BC=B，
所以AC⊥平面EB₁C，所以AC⊥B₁C，
得VA-EB1C=

1

3

S△EB1C•AC=

1

3

×(

1

2

×1×1)×1=

1

6

，…（10分）
因为AE=EB1=

2

，AB1=

6

，
所以S△AB1E=

3

2

，
因为VC-AB1E=VA-EB1C，
所以三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高为

3VC-AB1E

S△AB1E

=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的高的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．