Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinBsin（$\frac{π}{4}$+A）-sinAsin（$\frac{π}{4}$+B）=sin$\frac{π}{4}$．
（1）求证：B-A=$\frac{π}{2}$；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的正弦的和差公式即可证明，
（2）sinA+sinC经过化简后得到-（sinA-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，根据0＜sinA＜1，得到取值范围．

解答 解：（1）：sinBsin（$\frac{π}{4}$+A）-sinAsin（$\frac{π}{4}$+B），
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB（sinA+cosA）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA（sinB+cosB），
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinBsinA+sinBcosA-sinAsinB-sinAcosB），
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinBcosA-sinAcosB），
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B-A）=sin$\frac{π}{4}$，
∴sin（B-A）=1，
∴B-A=$\frac{π}{2}$；
（2）sinA+sinC=sinA+sin（B+A）=sinA+sin（$\frac{π}{2}$+2A）=sinA+cos2A=sinA+1-sin²A=-（sinA-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∵0＜sinA＜1，
∴1＜-（sinA-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$≤$\frac{5}{4}$，
∴sinA+sinC的取值范围为（1，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的性质，属于中档题．