Question

15．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2$\sqrt{5}$km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．
（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；
（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC地块的面积；
（Ⅱ）设出点D为（x，x²），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示；

则A（0，0），C（0，8），
设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax²（a＞0），
则点B（2，4a），
又|BC|=$\sqrt{{（4a-8）}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；
∴抛物线方程为y=x²，x∈[0，2]；
又${∫}_{0}^{2}$x²=$\frac{1}{3}$x³${|}_{0}^{2}$=$\frac{8}{3}$，
∴此曲边三角形ABC地块的面积为
S_梯形ACBM-${∫}_{0}^{2}$x²=$\frac{1}{2}$×（8+4）×2-$\frac{8}{3}$=$\frac{28}{3}$；
（Ⅱ）设点D（x，x²），则F（0，x²），
直线BC的方程为：2x+y-8=0，
∴E（x，8-2x），
|DF|=x，|DE|=8-2x-x²，|CF|=8-x²，
直角梯形CEDF的面积为
S（x）=$\frac{1}{2}$x[（8-2x-x²）+（8-x²）]=-x³-x²+8x，x∈（0，2），
求导得S′（x）=-3x²-2x+8，
令S′（x）=0，解得x=$\frac{4}{3}$或x=-2（不合题意，舍去）；
当x∈（0，$\frac{4}{3}$）时，S（x）单调递增，
x∈（$\frac{4}{3}$，2）时，S（x）单调递减，
∴x=$\frac{4}{3}$时，S（x）取得最大值是
S（$\frac{4}{3}$）=-${（\frac{4}{3}）}^{3}$-${（\frac{4}{3}）}^{2}$+8×$\frac{4}{3}$=$\frac{176}{27}$；
∴科技园区面积S的最大值为$\frac{176}{27}$．

点评 本题考查了函数与导数的综合应用问题，解题时要认真审题，仔细分析题设中的数量关系，合理地建立直角坐标系，利用导数求函数的最大值，是难题．