Question

4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²=b²+c²-bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 6
• C． $\sqrt{3}$
• D． 9

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．

解答 解：∵a²=b²+c²-bc，可得：bc=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴由a=3，结合正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
则a+b+c=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC
=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosB
=3+6sin（B+$\frac{π}{6}$），
可知周长的最大值为9．
故选：D．

点评 此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．