Question

13．从某市高三数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如图：
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；
（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150）的学生中共抽取3人，该3人中分数在[130，150）的有几人？
（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150）各1人的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平均数是频率分布直方图各个小矩形的面积×底边中点横坐标之和，求出本次考试的平均分；
（Ⅱ）利用频数=频率×样本数，求出分数在[30，50）和[130，150]的学生人数，再按照分层抽样的方法按比例求出3人中成绩在[130，150]的有几人？
（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，分数在[130，150]的有1人，问题为古典概型．

解答 解：（Ⅰ）由题意（a+2a+3a+3a+5a+6a）×20=1，∴a=0.0025
由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为
0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100
+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．
（Ⅱ）样本中分数在[30，50）和[130，150]的学生人数分别为6人和3人，
所以抽取的3人中成绩在[130，150]的有3×$\frac{3}{9}$=1人．
（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，记为a，b，
分数在[130，150]的有1人，记为c，从中随机抽取2人，总的情形有（a，b），（a，c），（b，c）三种．
而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形为（a，c），（b，c）两种，
故所求的概率为：P=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图的基础知识，分层抽样，古典概型求解．融合了基本知识，难度不大，但是好题．