Question

9．数列1$\frac{1}{2}$，4$\frac{1}{4}$，9$\frac{1}{8}$，16$\frac{1}{16}$…，前n项之和为（　　）

• A． $\frac{{n}^{3}}{3}+\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{n}{6}+1+\frac{1}{{2}^{n}}$
• B． $\frac{{n}^{3}}{3}+\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{n}{6}+1$-$\frac{1}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{{n}^{3}}{3}+\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{n}{6}+1$+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• D． $\frac{{n}^{3}}{3}+\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{n}{6}+1$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$

Answer 1

分析 数列1$\frac{1}{2}$，4$\frac{1}{4}$，9$\frac{1}{8}$，16$\frac{1}{16}$…，前n项之和=（1+2²+3²+…+n²）+$[\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}]$，利用等比数列的求和公式及其结论1+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，即可得出．

解答 解：数列1$\frac{1}{2}$，4$\frac{1}{4}$，9$\frac{1}{8}$，16$\frac{1}{16}$…，前n项之和=（1+2²+3²+…+n²）+$[\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}]$
=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{1}{3}{n}^{3}$+$\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{1}{6}$n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的求和公式及其结论1+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．