Question

在平面直角坐标系XOY中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为 ρsin²θ=4cosθ，直线l的参数方程为

x=tcosa y=1+tsina

，（t为参数，0≤a＜π）．
（Ⅰ）化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由曲线C 的极坐标方程 ρsin²θ=4cosθ，可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；
（II）由直线l的参数方程

x=tcosa y=1+tsina

，消去t参数，化为y-1=xtanα，把点（1，0）代入，可得tanα=-1，即可得出直线l的方程．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答： 解：（I）由曲线C 的极坐标方程 ρsin²θ=4cosθ，可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴y²=4x．
（II）直线l的参数方程为

x=tcosa y=1+tsina

，（t为参数）化为y-1=xtanα，
∵直线l 经过点（1，0），∴tanα=-1，
∴直线l的方程为y=-x+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=-x+1 y2=4x

，化为x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×(62-4)

=8．

点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．