Question

如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，p为AB的中点．
（Ⅰ）求证：面FBC∥面EAD；
（Ⅱ）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（Ⅲ）求四面体PCEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥CF，由此能证明面FBC∥面EAD．
（Ⅱ）由已知得PD⊥PC，PD⊥CF，由此能证明平面PCF⊥平面PDE，
（Ⅲ）由PD⊥平面PFC，PC=PD=2

2

a，CF⊥平面ABCD，CF=2a，能求出四面体PCEF的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD为矩形，∴AD∥BC，
∵CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴DE∥CF，
∵BC，CF?平面BCF，且BC∩CF=C，
∴面FBC∥面EAD．
（Ⅱ）证明：在矩形ABCD中，由AP=BP=2a，得PC=PD=2

2

a，
又CD=4a，由勾股定理，得PD⊥PC，
∵CF⊥平面ABCD，则PD⊥CF，
由PC∩CF=C，得PD⊥平面PFC，
∴PD?平面PDE，
∴平面PCF⊥平面PDE，
（Ⅲ）解：∵PD⊥平面PFC，PC=PD=2

2

a，
CF⊥平面ABCD，CF=2a，
∴S△PFC=

1

2

×PC×FC=

1

2

×2

2

a×2a=2

2

a2，
∴四面体PCEF的体积：
V=

1

3

S△PFC×PD=

1

3

×2

2

a2×2

2

a=

8a3

3

．

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．