题目内容
若双曲线
-
=1的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3 |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到a=1，进而得到实轴长．
解答：
解：双曲线
-
=1的渐近线方程为y=±
x，
即
x±ay=0，
圆（x-2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，
由圆的弦长公式得弦心距|CD|=
=
，
另一方面，圆心C到双曲线的渐近线
-ay=0的距离为
d=
=
，
所以d=
=
，
解得a2=1，即a=1，
该双曲线的实轴长为2a=2．
故答案为：2．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3 |
| ||
| a |
即
| 3 |
圆（x-2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，
由圆的弦长公式得弦心距|CD|=
| 22-12 |
| 3 |
另一方面，圆心C到双曲线的渐近线
| 3x |
d=
|
| ||
|
2
| ||
|
所以d=
2
| ||
|
| 3 |
解得a2=1，即a=1，
该双曲线的实轴长为2a=2．
故答案为：2．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
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