Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是CC₁、C₁D₁、D₁D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上或其内部运动，且使MN⊥AC．对于下列命题：
①点M可以与点H重合；
②点M可以与点F重合；
③点M可以在线段FH上；
④点M可以与点E重合．
其中正确命题的序号是

 

（把你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意知HN⊥AC，FN⊥AC，故M在FH上时，均能满足要求，若M为FH上异于F，H的任意一点，则HN是斜线MN在底面ABCD上的射影，从而MN⊥AC，由题意知当M为H或F时，MN⊥AC，由NE∥BC₁，且BC₁与AC不垂直，知点M不能与点E重合．

解答： 解：由题意知HN⊥AC，FN⊥AC，
猜想：M在FH上时，均能满足要求，
事实上，若M为FH上异于F，H的任意一点，
∵FH⊥底面ABCD，∴HN是斜线MN在底面ABCD上的射影，而HN⊥AC，
∴MN⊥AC，由题意知当M为H或F时，MN⊥AC，
∴①点M可以与点H重合，正确；
②点M可以与点F重合，正确；
③点M可以在线段FH上，正确．
∵NE∥BC₁，且BC₁与AC不垂直，
∴点M不能与点E重合，故④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．