Question

16．已知△ABC外接圆的圆心为O，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{2}$，A为钝角，M是BC边的中点，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}$=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由M是BC边的中点，可得$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，利用O是△ABC的外接圆的圆心，可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AO}|$cos∠BAO=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$=6，同理求得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$，则答案可求．

解答 解：∵M是BC边的中点，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∵O是△ABC的外接圆的圆心，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AO}|$cos∠BAO=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}）^{2}=6$．
同理可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}=\frac{1}{2}×（2\sqrt{2}）^{2}=4$．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$
=$\frac{1}{2}$×（6+4）=5．
故选：C．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．