Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知$2a{cos^2}\frac{C}{2}+2c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{5}{2}b$
（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；
（Ⅱ）若$cosB=\frac{1}{4}$，$S=\sqrt{15}$，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及降幂公式可得$a（1+cosC）+c（1+cosA）=\frac{5}{2}b$，由acosC+ccosA=b，可得$a+c=\frac{3}{2}b$，即可得解．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求$sinB=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，利用三角形面积公式可求ac=8，利用余弦定理可得b²=（a+c）²-2ac（1+cosB），代入（Ⅰ）的结论2（a+c）=3b，即可解得b的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由条件：$a（1+cosC）+c（1+cosA）=\frac{5}{2}b$，
由于：acosC+ccosA=b，所以：$a+c=\frac{3}{2}b$，
即：2（a+c）=3b…．（5分）
（Ⅱ）∵$cosB=\frac{1}{4}$，∴$sinB=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，…．（6分）
∵$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{8}\sqrt{15}ac=\sqrt{15}$，∴ac=8…．（8分）
又∵b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB），
由2（a+c）=3b，
∴$\frac{{5{b^2}}}{4}=16（1+\frac{1}{4}）$，
∴b=4…．（12分）

点评 本题主要考查了降幂公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．