Question

已知函数f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数．
（1）求实数b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）求f（x）＜

1

4

的解集．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用f（0）=0，即可求实数b的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）的单调性；
（3）根据指数不等式的解法即可求f（x）＜

1

4

的解集．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数；
∴f（0）=0，即f（0）=

1

2

+b=0，解得b=-

1

2

．
（2）函数f（x）的单调递增，
设x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

1

ax2+1

-

1

ax1+1

=

ax1-ax2

(ax1+1)(ax2+1)

，
∵0＜a＜1，x₁＜x₂，
∴ax1＞ax2，则f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），即函数单调递增；
（3）∵f（x）=

1

ax+1

-

1

2

．
∴由f（x）＜

1

4

得

1

ax+1

-

1

2

＜

1

4

，
即

1

ax+1

＜

3

4

，
即a^x+1＞

4

3

，即a^x＞

1

3

，
∵0＜a＜1，
∴x＜loga

1

3

=-loga3，
即不等式的解集为（-∞，-log_a3）．

点评：本题主要考查主要考查函数奇偶性的性质的应用以及函数单调性的定义是解决本题的关键．