Question

下列说法中：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，则cosA＜cosB；
②已知数列{a_n}为等差数列，若m+n+p=q（m，n，p，q∈N^*），则有a_m+a_n+a_p=a_q；
③已知数列{a_n}、{b_n}为等比数列，则数列{a_n+b_n}、{a_n•b_n}也为等比数列；
④若0＜x＜

π

2

，则函数f（x）=cos2x-

3

2sin2x

的最大值为1-2

3

；
其中正确的是

 

（填正确说法的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：①△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，利用y=cosx在（0，π）上单调递减的性质可判断①；
②举例说明，令a_n=1，不妨令m=n=p=1，q=3，a_m+a_n+a_p=3≠1=a_q，可判断②；
③不妨令a_n=1，b_n=-1，则a_n+b_n=0，不是等比数列，可判断③
④利用二倍角的余弦与基本不等式可判断④

解答： 解：①在△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，又y=cosx在（0，π）上单调递减，故cosA＜cosB，所以①正确；
②数列{a_n}为等差数列，若m+n+p=q（m，n，p，q∈N^*），则有a_m+a_n+a_p=a_q，显然错误；如a_n=1，不妨令m=n=p=1，q=3，a_m+a_n+a_p=3≠1=a_q；
③数列{a_n}、{b_n}为等比数列，不妨令a_n=1，b_n=-1，则a_n+b_n=0，不是等比数列，故③错误；
④若0＜x＜

π

2

，则函数f（x）=cos2x-

3

2sin2x

=1-2sin²x-

3

2sin2x

=1-（2sin²x+

3

2sin2x

）≤1-2

3

（当且仅当2sin²x=

3

2sin2x

，即sin²x=

3

2

时取等号），
即当0＜x＜

π

2

时，函数f（x）=cos2x-

3

2sin2x

的最大值为1-2

3

，故④正确．
正确的是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查正弦定理、余弦函数的单调性、二倍角公式及基本不等式的应用、等比数列的性质的应用，属于难题．