Question

已知倾角为α的直线l：

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

（t为参数）与曲线C：

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数）相交于不同两点A，B若|PA|•|PB|=|PO|²，其中P（2，

3

），则直线l的斜率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,圆的参数方程

专题：综合题,坐标系和参数方程

分析：把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，

解答： 解：曲线C

x=2cosθ y=sinθ

化为：

x2

4

+y²=1，可知曲线C是椭圆曲线．
  设PA=t₁，PB=t₂．
 把直线方程代入椭圆方程可得：（1+3sin²α）t²+（8

3

sinα+4cosα）t+12=0
 可得：|t₁t₂|=|PA|•|PB|=|PO|²=7，根据二次方程根与系数的关系可得

12

1+3sin2α

=7，
 化简计算可得：sin²α=

5

21

，cos²α=

16

21

，
 tan²α=

5

16

，tanα=±

5

4

 故答案为：±

5

4

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，解答此题的关键是灵活运用直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．