Question

已知正数a，b，c组成等差数列，且公差不为零，那么由它们的倒数所组成的数列

1

a

，

1

b

，

1

c

能否成为等差数列？

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a≠b且b≠c且c≠a，且2b=a+c，a＞0，b＞0，c＞0．利用基本不等式的性质可得2b＞2

ac

，ac＜b²．计算

1

a

+

1

c

-

2

b

是否等于0即可判断出．

解答： 解：由已知得a≠b且b≠c且c≠a，且2b=a+c，a＞0，b＞0，c＞0．
∴2b＞2

ac

，∴ac＜b²．
∵

1

a

+

1

c

-

2

b

=

a+c

ac

-

2

b

=

2b

ac

-

2

b

=

2(b2-ac)

abc

＞0，
∴

1

a

+

1

c

≠

2

b

．
∴数列

1

a

，

1

b

，

1

c

不能成为等差数列．

点评：本题考查了基本不等式的性质、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．