题目内容

5位同学各自随机从3个不同城市中选择一个城市旅游，则3个城市都有人选的概率是
 
．
考点：排列、组合的实际应用,计数原理的应用
专题：计算题,概率与统计
分析：根据题意，首先由分步计数原理计算5位同学各自从3个不同城市中选择一个的情况数目，再分2步分析3个城市都有人选情况数目，①、先将5人分成3组，②、将分好的三组，对应3个城市，由分步计数原理计算可得3个城市都有人选情况数目，最后由古典概型计算公式计算可得答案．
解答： 解：根据题意，5位同学各自随机从3个不同城市中选择一个城市旅游，
每人都有3种选择，则5个人共有35=243种选择情况，
若3个城市都有人选，需要分2步分析：
①、先将5人分成3组，
若分为2、2、1的三组，有
C
2
5
C
2
3
C
1
1
A
2
2
=15种情况，
若分为3、1、1的三组，有
C
3
5
C
1
2
C
1
1
A
2
2
=10种情况，
共有15+10=25种分组方法，
②、将分好的三组，对应3个城市，有A33=6种情况，
则3个城市都有人选的情况有25×6=150种情况，
故3个城市都有人选的概率为
150
243
=
50
81
；
故答案为：
50
81
．
点评：本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，解答的难点在于正确利用排列、组合公式以及分类、分步计数原理．
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3
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3
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