Question

f（x）=x-lnx
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=x-alnx在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；
（2）g（x）=x-alnx在[1，+∞）上单调递增，等价于g′（x）≥0恒成立，分离参数后转化为求函数的最值；

解答： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）的单调递减求解是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；
（2）g′（x）=1-

a

x

，
g（x）=x-alnx在[1，+∞）上单调递增，等价于g′（x）≥0恒成立，即a≤x恒成立，
∵x≥1，∴a≤1．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立，转化为求函数的最值是解决恒成立问题的常用方法．