Question

已知：△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cos2B-cos（A+C）=0．
（1）求角B的大小；
（2）若sinA=4sinC，△ABC的面积为

3

，求b边的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式左边第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用诱导公式变形，求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）已知等式利用正弦定理化简，利用三角形面积公式列出关系式，将a=4c，sinB的值代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）已知等式cos2B-cos（A+C）=0，变形得：2cos²B+cosB-1=0，
整理得：（2cosB+1）（cosB-1）=0，
解得：cosB=-

1

2

或cosB=1（不合题意，舍去），
∴B=120°；
（2）已知等式sinA=4sinC，利用正弦定理化简得：a=4c，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

，
∴

1

2

•4c²•

3

2

=

3

，即c=1，
∴a=4，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=16+1+4=21，
则b=

21

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．