Question

已知函数f（x）=sinxcosx+

3

cos²x-

3

2

（x∈R）．
（1）写出f（x）的最小正周期及最大值；
（2）求f（x）的增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用周期公式求出函数f （x）的最小正周期，利用正弦函数的最大值，求出函数f （x）的最大值；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f （x）的单调增区间．

解答： 解：由题意得，f（x）=sinxcosx+

3

cos²x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值是1；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得，
-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
所以函数f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数的二倍角公式，两角和的正弦函数的应用，考查函数的正周期、单调增区间的求法，考查计算能力，这是常考题型．