Question

已知f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，即可求f（x）的解析式；
（2）根据函数奇偶性和单调性的定义即可证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0进行转化，求k的取值范围．

解答： 解：（1）令t=log_ax（t∈R）
则x=at，f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R），
（2）∵x∈R，f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2 -1

(ax-a-x)=-f(x)，
∴函数f（x）为奇函数．    
设x₁＜x₂，
若a＞1，f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-1

[ax2-a-x2-ax1+a-x1]=

a

a2-1

[（ax2-ax1）（1+

1

ax1ax2

）]，
∵a＞1，x₁＜x₂，∴ax1＜ax2，ax2-ax1＞0，ax1ax2＞0，

a

a2-1

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
类似可证明当0＜a＜1时，f（x₂）＞f（x₁），
综上，无论a＞1或0＜a＜1，f（x）在R上都是增函数． 
（3）不等式化为f（t²-2t）＞-f（2t²-k），
即f（t²-2t）＞f（k-2t²）
∵f（x）在R上都是增函数，
∴t²-2t＞k-2t²对t∈R恒成立
即3t²-2t-k＞0对t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，k＜-

1

3

故k的取值范围(-∞，-

1

3

)．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及不等式恒成立的证明，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．