Question

设函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）-2sin²

ω

2

x+1（ω＞0），直线y=-

3

与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（1）求ω的值．
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（B，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），根据函数的最小正周期为

2π

ω

=π，求得ω的值．
（2）在△ABC中，由f（B）=

3

sin（2B+

π

3

）=0，求得B，可得cosB的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值，可得△ABC面积

1

2

ac•sinB的最大值．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）-2sin²

ω

2

x+1（ω＞0）=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+cosωx
=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx=

3

sin（ωx+

π

3

），
∵函数的最大值为

3

，最小值为-

3

，直线y=-

3

与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π，可得函数的最小正周期为

2π

ω

=π，求得ω=2．
（2）由于f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），故有f（B）=

3

sin（2B+

π

3

）=0，∴B=

π

3

，或B=

5π

6

．
若B=

π

3

，则cosB=

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

，化简可得ac=a²+c²-9≥2ac-9，∴ac≤9，
故△ABC面积

1

2

ac•sinB的最大值为

1

2

×9×

3

2

=

9 3

4

．
若B=

5π

6

，则cosB=-

3

2

=

a2+c2-b2

2ac

，化简可得-

3

ac=a²+c²-9≥2ac-9，∴ac≤9（2-

3

），
故△ABC面积

1

2

ac•sinB的最大值为

1

2

×9×（2-

3

）×

1

2

=

9(2- 3 )

4

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．