Question

函数f（x）=-x³-x+sinx，当θ∈（0，

π

2

）时，恒有f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0成立，则实数m的取值范围（　　）

• A、（-∞，

  1

  2

  ）
• B、（-∞，

  1

  2

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，+∞）
• D、[-

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：确定函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，化抽象不等式为具体不等式，分离参数，利用斜率，即可求出实数m的取值范围

解答： 解：函数f（x）为奇函数且f′（x）=-3x²-1+cosx≤0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
故f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0⇒2m（1-sinθ）＞-1-sin²θ，
当θ∈(0，

π

2

)时，2m＞

sin2θ+1

sinθ-1

，

sin2θ+1

sinθ-1

可以视为（sinθ，sin²θ），（1，-1）两点的直线斜率，
而（sinθ，sin²θ）在曲线y=x²，x∈（0，1），可知

sin2θ+1

sinθ-1

＜-1，
故2m≥-1⇒m≥-

1

2

．
故选：D．

点评：本题考查函数的图象及其恒成立问题、数形结合思想的应用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．